Tehnici neparametrice de comparatie între grupuri

Tehnicile statistice parametrice pleaca de la o serie de conditii privind normalitatea si omogenitatea dispersiei distributiei rezultatelor subiectilor. Când acestea nu sunt îndeplinite sunt utilizate tehnicile neparametrice denumite si tehnici statistice independente de distributia datelor.

Avantajele acestui tip de tehnici constau în diversitatea datelor care pot fi prelucrate atât calitativ cât si cantitativ. Dezavantajul principal este puterea mai mica de a detecta falsitatea unei ipoteze nule. Exista mai multe metode nonparametrice, cele mai întâlnite fiind:

• tehnica lui c 2 (hi patrat);
• testul U a lui Mann-Whitney (echivalentul testului parametric t independent);
• testul Wilcoxon al rangurilor pereche (echivalent ANOVA masuratori repetate ori t dependent);
• testul ANOVA Kruskal-Wallis al rangurilor (echivalent ANOVA simpla, însa datele sunt convertite în ranguri);
• testul Friedman ANOVA biunivoc al rangurilor (echivalent ANOVA masuratori repetate).

Tehnica lui c 2

Se aplica atunci când rezultatele sunt clasificate în functie de gen, vârsta, nivel de pregatire, grupuri de tratament sau orice alta masura nominala. Proba furnizeaza un test statistic asupra semnificatiei discrepantei dintre rezultatele observate si asteptate.

De exemplu, studentul Ionel este superstitios. El crede ca o anumita sala îi poarta ghinion atunci când are de sustinut un examen. El a tinut evidenta tuturor salilor în care a dat examen. În total a sustinut 120 de examene în 4 sali diferite, adica în medie 30 de examene în fiecare sala.

Iata situatia reala (observata) si pe cea teoretica, pentru fiecare sala în ce priveste examenele luate cu note între 5 si 7 ("operationalizarea ghinionului")

Numarul salii
	1	2	3	4	Total
Observat (O)	24	34	22	40	120
Probabil (E)	30	30	30	30	120

Formula lui c 2:

Unde: O = frecventa observata;

          E =frecventa probabila (teoretica, expectata).

Sala	O - E	(O – E) ²	(O – E) ² / E
1	-6	36	1,20
2	+4	16	0,53
3	-8	64	2,13
4	+10	100	3,33

c 2=7,19

Valoarea obtinuta este interpretata prin compararea ei cu valoarea corespondenta din tabelul c ². Deoarece în cazul de fata exista patru variante (4 sali), numarul de grade de libertate este c-1, adica 3.

Valoarea lui c 2 de 7, 19 este mai mica decât cea din tabel la 3 df. Se observa ca la un prag de semnificatie p <.05, valoarea din tabel era de 7, 82. Astfel, ipoteza nula, ca nu exista diferente semnificative între cele patru banci nu poate fi eliminata, iar Ionut nu este întemeiat sa creada ca o sala îi aduce mai mult ghinion decât o alta.

Observatii:

• gradele de libertate se stabilesc în functie de numarul de alternative existente minus unu;

• frecventa teoretica se stabileste împartind numarul total de date la numarul de alternative;

• daca exista anumite informatii prealabile care sa ateste o anumita distributie a datelor atunci principiul amintit anterior cade. Spre exemplu daca frecventa probabila de aparitie a nevrozei într-un grup este de 20 %, atunci frecventa teoretica se obtine stabilind cât înseamna 20% din totalul de date prezentate.

De multe ori o problema implica doua sau mai multe categorii de evenimente si doua au mai multe grupe. Un exemplu ar fi analizarea rezultatelor la un chestionar de atitudine în care sunt precizate mai multe raspunsuri (de acord, abtinere, dezacord) si doua grupe de subiecti (religiosi crestini, respectiv atei). Acest tip de clasificare este numita tabel de contingenta.

Exemplu: În urmatorul tabel sunt cuprinse raspunsurile unui grup de persoane religioase si al unui alt grup de persoane nereligioase la urmatoarea întrebare: "Sunteti de acord ca tinerii sa faca dragoste înainte de casatorie?"

O tabela 3 x 2 de contingenta a raspunsurilor.

	De acord	Abtinere	Dezacord	Total
Religiosi Observate Probabile	30 (64)	46 (56)	124 (80)	200 (200)
Atei Observate Probabile	114 (80)	80 (70)	56 (100)	250 (250)
TOTAL	144	126	180	450

În exemplele anterioare frecventele probabile (teoretice) se determinau din ipoteze rationale sau alte surse de informatii. În tabelul de contingenta valorile probabile se calculeaza din frecventele efectiv aparute fata de totalul raspunsurilor. De exemplu, numarul total de subiecti care au fost de acord cu afirmatia este de 144. Deoarece în total sunt 450 de subiecti care au raspuns la chestionar, atunci procentul celor care au fost de acord cu afirmatia este de 144/450, adica 32% din grup. Astfel, daca nu exista nici o diferenta între grupul persoanelor religioase si non-religioase (ipoteza nula), atunci 32% din religiosi (0,32 x 200 = 64) si 32% din atei (0,32 x 250 =80) sar trebui sa fie de acord cu afirmatia (frecventa teoretica).

c 2 se calculeaza în acelasi mod si în acest exemplu.

O - E	E	(O – E) ²	(O – E) ² / E	R (Rezidul standardizat)
-34	64	1156	18,06	-4,25
34	80	1156	14,45	3,77
-10	56	100	1,79	-1,33
10	70	100	1,43	1,19
44	80	1936	24,20	4,88
-44	100	1936	19,36	-4,40

c 2 = 79,29

Gradele de libertate pentru tabelul de contingenta sunt (r-1) (c-1), unde r este numarul de rânduri (în acest caz doua, religios vs. ateu) iar c numarul de coloane (în acest caz trei, de acord, abtinere, dezacord). Astfel, df = (2-1) (3-1) = 2.

Cautând în tabelul de semnificatii la df = 2, observam ca c 2 ar avea valoarea 9, 21 la un p <.01. Valoarea obtinuta a lui hi patrat de 79,29 este categoric semnificativa. Aceasta ne spune ca ipoteza nula trebuie respinsa.

Pentru a determina care categorie a adus contributii majore la obtinerea unei diferente semnificative se calculeaza rezidul standardizat (R). Formula sa este:

Aceasta formula este aplicata în cadrul fiecarei situatii. Daca rezidul standardizat este mai mare decât 2 (în valoare absoluta, indiferent de semn) putem considera ca acel element a adus un rol important în obtinerea unui c 2 semnificativ. În cazul de fata atât valorile din dreptul sintagmei "de acord" cât si cele din dreptul sintagmei "dezacord" au iesit relevante. Nu se observa însa diferente semnificative între cele doua grupe în ce priveste alternativa "nu stiu".

Restrictiile de utlizare a testului c 2

Desi am afirmat ca testele neparametrice nu necesita aceleasi ipoteze asupra populatiei ca cele parametrice, exista totusi o serie de restrictii si în utilizarea acestui tip de teste.

• Observatiile trebuie sa fie independente si categoriile formate trebuie sa se excluda reciproc. Este vorba de eliminarea raspunsurilor multiple si de alegerea unui singur raspuns la întrebare.
• De obicei, testul hi patrat nu se poate aplica pentru esantioane mici. Frecventa probabila (teoretica) pentru orice casuta nu trebuie sa fie mai mica de unu. Mai mult, unii statisticieni pretind ca nu mai mult de 20% din casute sa aiba valori teoretice ale frecventelor mai mici de cinci. O tactica întâlnita în astfel de situatii este sa se combine sasutele adiacente, marind valoarea frecventei teoretice.

• Pentru tabelele de contingenta de tip 2 x 2 este necesara aplicarea unei corectii, denumita corectia Yates pentru continuitate. Aceasta opereaza o scadere de 0,5 din diferenta dintre frecventele observate si cele teoretice (expectate, probabile) înainte de a o ridica la patrat:

  

• O alta limitare impusa tabelei de contingenta de tip 2 x 2 este ca numarul total (N) sa fie cel putin 20;
• Frecventa probabila (teoretica) sa fie stabilita a priori, fie ca probabilitate de aparitie egala, fie utilizând date existente. Nu trebuie sa i se permita cercetatorului sa se uite pe datele obtinute si apoi sa "scoata din mâneca" o distributie teoretica care sa se potriveasca cu ipoteza.

Concluzii în ce priveste utilizarea lui c 2:

• Se utilizeaza atunci când avem de analizat date nominale (calitative);
• Se poate calcula rezidul standardizat specific fiecarei casute pentru a diferentia care elemente au contribuit mai mult la obtinerea unui c 2 semnificativ;
• Testul de omogenitate c 2 are menirea de a distinge daca exista diferente semnificative între distributia teoretica (expectata) si distributia reala (observata) obtinuta.

Testul U al lui Mann-Whitney

Este analog testului parametric t independent, fiind una din cele mai puternice probe neparametrice. Poate fi utilizat atât cu esantioane mici de subiecti, cât si cu esantioane mari si necesita numai masuratori de tip rang sau când nu îndeplinim conditiile aplicarii testului t independent. Acest test opereaza cu numere ordinale.

Exista doua modalitati de calculare a acestui test în functie de marimea esantioanelor (n1 si n2 mai mici de 20 de persoane, respectiv, n1, n2 mai mari de 20).

Testul U a lui Mann-Whitney pentru N< 20

Exemplu: Un psiholog social este interesat sa afle daca exista diferente între doua categorii de femei (angajate, respectiv casnice) în ce priveste atitudinea lor asupra miscarii feministe.

Pasi în rezolvarea problemei:

1. Stabilirea ipotezei: Cercetatorul afirma exista o diferenta semnificativa între cele doua grupe. Se stabileste si pragul de semnificatie de 0,05. Ipoteza de lucru poate fi luata în considerare numai dupa respingerea ipotezei nule.
2. Pentru a respinge ipoteza nula, se trece la calcularea lui U luându-se în considerare atât tendintele centrale cât si cele dispersionale. Se calculeaza U1 si U2 pentru fiecare dintre grupe. Iata raspunsurile date de cele doua categorii.

                         S R1=128                                                                          S R2=82

Unde:

n1= numarul de subiecti din prima grupa;

n2= numarul de subiecti din a doua grupa;

S R1=suma rangurilor din prima grupa;

S R2=suma rangurilor din a doua grupa.

Dupa calcularea celor doi U se alege acea valoarea absoluta mai mica. În acest caz U1 este 27, iar U2 73. Se alege prima valoare de 27 care devine generic U. Urmatorul pas este consultarea din tabel a valorii lui U pe diagonala tinând cont de n1=10 si n2=10 la un prag de 0,05. Se observa ca valoarea corespunzatoare este U=27 pentru p<.05.

Pentru a respinge ipoteza nula U obtinut trebuie sa fie mai mic sau egal cu valoarea corespondenta din tabel. În problema data am obtinut un U de 27 care este egal cu valoarea corespondenta din tabel, ca urmare ipoteza nula este respinsa. Exista asadar o diferenta semnificativa în ce priveste atitudinea femeilor din cele doua grupe.

Testul U a lui Mann-Whitney pentru N>20

In acest caz, exista o procedura usor diferita de calcularea a lui U. Pasii sunt urmatorii:

1. Aflarea rangului fiecarui rezultat pentru ambele grupe. Se atribuie rangul 1 celui mai bun rezultat indiferent de grupa, si rangul ultim N (n1+n2) celui mai slab rezultat indiferent de grupa din care face parte acel subiect. În caz de rezultate egale se acorda o medie a rangurilor aflate la egalitate. De exemplu, daca doua persoane au un rezultat identic si ocupa rangurile 5 si 6, vom trece în tabel rangul 5,5 iar urmatorul rang acordat va fi 7. Daca trei persoane au acelasi rezultat, ocupând locurile 9, 10 si 11, le acordam la toate rangul 10, iar urmatorul rang diponibil va fi 12.

2. Sumarea rangurilor pentru fiecare grupa.

3. Calcularea lui U, mai întâi prin stabilirea lui U1 si U2. Cel mai mic rezultat (în valoarea absoluta) este considerat a fi U.

   Pâna aici se observa ca se realizeaza acelasi demers matematic în aflarea lui U. Din acest moment însa, intervine un pas suplimentar.

4. Determinarea probabilitatii. Daca anterior aceasta a fost realizata prin compararea lui U obtinut cu valorile corespunzatoare din tabel, acum se trece la calcularea lui z si consultarea acestuia în tabela de valori. Formula lui z este:

În aceasta situatie se consulta z în tabel si se urmareste daca valoarea obtinuta este mai mare decât cea din tabel. Daca z obtinut este mai mare decât z din tabel (la un prag de semnificatie de minim 0,05) atunci ipoteza nula este respinsa si se demonstreaza ca exista o diferenta reala, semnificativa între cele doua grupe.

Testul Wilcoxon al rangurilor pereche

Exista studii comparative între doua grupe dependente (corelate) care nu îndeplinesc conditiile parametrice. În astfel de situatii trebuie aplicat acest test care are aceleasi principii cu testul t dependent. Prin testul Wilcoxon se determina marimea diferentelor dintre rezultate (spre exemplu înainte si dupa o actiune), ordonate dupa rang.

Exemplu: Un psihopedagog special este interesat de efectul unor sedinte de consiliere asupra comportamentului agresiv la copiii cu dificultati de învatare. Alege un numar de 12 subiecti pe care îi testeaza înainte si dupa aceste sedinte. Rezultatele sunt prezentate în tabel.

Date:Agresivitatea copiilor cu dificultati de învatare
S	Pre	Post	Pre-Post	Rangul diferentei	Rezultat cu semn	Minus
1	36	21	15	11	11
2	23	24	-1	1	-1	1
3	48	36	12	10	10
4	54	30	24	12	12
5	40	32	8	7	7
6	32	35	-3	3	-3	3
7	50	43	7	6	6
8	44	40	4	4	4
9	36	30	6	5	5
10	29	27	2	2	2
11	33	22	11	9	9
12	45	36	9	8	8

T = 4

Pasii de calculare a acestui test sunt urmatorii:

1. Determinarea diferentelor (coloana patru) prin scaderea rezultatelor "post" din "pre". Unele diferente sunt pozitive si altele negative. În cazul în care diferenta este zero cazul respectiv este exclus din analiza ulterioara deoarece nu are nici o influenta. Nu este neaparat necesar ca diferenta sa fie calculata scazând post-testul din pre-test. Exista situatii când acest fapt se inverseaza, adica se scade pre-testul din post-test. Depinde de ceea ce doreste studiul respectiv, sa reduca niste simptome defavorbaile (reducerea agresivitatii) sau sa îmbunatateasca situatia (cresterea stimei de sine).

2. Ordonarea rezultatelor dupa rang indiferent de semn (coloana a cincea). Se începe cu cea mai mica diferenta (valoarea zero este exclusa si nu intra în calcul).

3. Atribuirea semnului corespunzator în fata rangurilor (coloana 6) în functie de rezultatul obtinut în coloana diferentelor.

4. Determinarea rangurilor cu semn negativ si introducerea lor în coloana a saptea. Aceste ranguri sunt apoi adunate si rezultatul se noteaza cu T.

5. Testarea valorii lui T pentru semnificatie. Se consulta direct valoarea lui T din tabel. Rezultatele a caror diferenta a fost zero sunt excluse, astfel ca daca am avea 15 subiecti dintre care doua rezultate au fost identice înainte si dupa testare ne vom uita în tabel în dreptul lui n=13. În problema de fata însa, toate rezulatele au fost validate ca urmare vom consulta tabelul în dreptul lui n=12 si a pragului de semnificatie stabilit anterior, adica minim 0,05. Se observa ca valoarea lui T trebuie sa fie egala sau mai mica de 14 pentru a putea elimina ipoteza nula la un prag de 0,05. Cum rezultatul obtinut a fost T=4, se poate spune ca acele sedinte de consiliere au condus la o scadere semnificativa statistic a comportamentului agresiv.

Testul ANOVA Kruskal-Wallis al rangurilor

Este un test nonparametric utilizat când exista mai mult de doua grupe independente. Este comparabil cu o ANOVA simpla din statistica parametrica. Pentru analiza, datele sunt convertite în ranguri.

Exemplu: Un cercetator este interesat de diferentele care exista în ce priveste exercitarea unui comportament autoritar la trei grupe de dascali ( scoala primara; gimnaziu, respectiv liceu). În acest caz exista 17 subiecti împartiti în 3 grupe (6;5;6).

Iata rezultatele obtinute la scala de evaluare a autoritarismului în comportament:

Date: Scala de Evaluare a Autoritarismului
Dascali – ciclu primar(1)		Dascali – ciclu gimnazial(2)		Dascali – ciclu liceal(3)
Scor	Rang	Scor	Rang	Scor	Rang
52	4	66	13	63	10
46	1	49	3	65	12
62	9	64	11	58	8
48	2	53	5	70	15
57	7	68	14	71	16
54	6			73	17

                            S R1=29 M1=4,83                          S R2=46 M2=9,20                        S R3=78; M3=13

Pasi în rezolvarea problemei:

1. Acordarea de ranguri în functie de rezultatele obtinute la masurarea autoritarismului. Se acorda rangul 1 rezultatului care indica cel mai mic grad de autoritarism indiferent de grupa de provenienta. În caz de egalitate se acorda ranguri egale dupa metoda întâlnita si în cazul celorlalte teste neparametrice.

2. Însumarea rangurilor pentru fiecare grupa. Daca ipoteza nula ar fi adevarata atunci ar trebui sa obtinem suma rangurilor unei grupe asemanatoare ca valoare pentru toate grupele.

3. Testarea semnificatiei diferentelor dintre grupe prin testul ANOVA K-W simbolizat cu H, iata formula:

   
   

   Unde N= totalul rezultatelor;

          (S Ri)² / ni = raportul dintre suma rangurilor ridicata la patrat al unei grupe si numarul de subiecti din grupa respectiva;

            S [(S Ri)² / ni] = Suma raporturilor obtinute la toate grupele;

            ni= este numarul de rezultate din fiecare grupa.
   

4. Efectuarea calculelor:

   

   H=7,86.

5. Când sunt mai multi de 5 subiecti în fiecare grupa se testeaza valoarea lui H prin consultarea lui c 2 la df (grade de libertate) = k –1 (unde K este numarul de grupe). Daca sunt 5 sau mai putini subiecti în fiecare grupa se utilizeaza o tabela speciala. Daca exista un numar mare de ranguri egale (peste 25%) se opereaza o corectie a lui H. În cazul de fata, deoarece avem doar o singura grupa care nu are mai mult de 5 subiecti si doua care îndeplinid conditia amintita, vom proceda la consultarea lui c 2 din tabel. Se observa ca valoarea lui hi patrat la nivelul de încredere de 0,05 pentru 2 df (3 grupe minus unu) este de 5,99, ca urmare rezultatul obtinut de noi (7,86) este mai mare. Astfel, ipoteza nula este respinsa si putem afirma ca exista o diferenta semnificativa în ce priveste gradul de autoritarism în functie de ciclul scolar la care profeseaza dascalii supusi studiului.

6. Pentru a aprofunda demersul statistic, putem analiza care grup este responsabil pentru aparitia acestor diferente. Avem doi subpasi de realizat în acest sens:

• Tehnica Bonferoni prin care dorim sa pastram nivelul de analiza (alfa) constant. Pentru aceasta trebuie împartit a (0,05) la numarul de grupe ale studiului. În acest caz la trei, rezultând un a = 0,017. Se consulta în tabel aceasta valoare, cautând valoarea z si se observa ca pentru acest procent este specificat un z =2,39. Aceasta va fi înmultit cu eroarea standard a diferentei dintre doua esantioane.

• Al doilea subpas consta în calcularea acestor erori medii a diferentelor dupa formula:

  

Unde: N = numarul total de subiecti;

          n = numarul de subiecti din grupele care se compara.

Pentru cele trei comparatii ale noastre, eroarea standard a diferentei este:

1. profesori elementara versus profesori gimnaziu

   

2. profesori elementara versus profesori liceu

   

3. profesori gimnaziu versus profesori liceu

idem a.

7.Se stabileste un interval de încredere pentru fiecare comparatie în parte. El este egal cu diferenta mediei dintre grupuri plus sau minus valoarea lui z pentru a de 0,017, adica 2,39*SE al fiecarei grupe. Astfel:

a) intervalul pentru grupele de elementara versus gimnaziu

9,20–4,83 +/- 2,39*3,05 = 4,37+/-7,28 = [-2,91; 11,65]

b) intervalul pentru grupele de elementara versus liceu

13 – 4,83 +/- 2,39*2,91 = 8,17 +/- 6,95 = [1,22; 15,12]

c) intervalul pentru grupele de gimnaziu versus liceu

13 – 9,20 +/- 2,39*3,05 = 3,80 +/- 7,28 = [-3,48; 11,08]

O comparatie este semnificativa statistic daca intervalul obtinut nu include valoarea zero. Din comparatiile efectuate diferentele semnificative apar doar între grupa de dascali de la ciclul primar si cei de la ciclul liceal (intervalul obtinut nu include si cifra zero). Putem concluziona ca exista o diferenta semnificativa în ce priveste nivelul de autoritarism exercitat de profesori între cei din ciclul primar si cei din ciclul liceal, cei din urma fiind mai autoritari.

Observatie

Atât testul ANOVA Kruskal-Wallis cât si a testul U a lui Mann-Whitney sunt tehnici ce utilizeaza date ordinale, existând posibilitatea unor ranguri egale. Daca acest numar de ranguri egale este prea mare (peste 30%) nu se recomanda utilizarea lor.

Testul Friedman ANOVA biunivoc al rangurilor

Testul este analog tehnicii ANOVA cu masuratori repetate din statistica parametrica. Rezultatele sunt ordonate pe ranguri si se utilizeaza hi patrat ca test de semnificatie.

Exemplu: Un grup de 12 subiecti au fost supusi unei metode de învatare a limbilor straine folosind tehnici sofrologice. Au fost testati de 3 ori: înaintea aplicarii metodei, la o luna si la trei luni de la începerea experimentului. Au fost obtinute rezultatele:

	EVALUARE			RANGURI
S	A	B	C	R(A)	R(B)	R(C)
1	16,0	15,7	15,2	3	2	1
2	11,6	10,9	11,5	3	1	2
3	18,1	18,0	17,6	3	2	1
4	16,3	16,8	17,0	1	2	3
5	12,0	13,1	12,8	1	3	2
6	12,5	12,2	12,3	3	1	2
7	9,3	8,8	9,0	3	1	2
8	18,8	17,5	18,0	3	1	2
9	19,2	19,7	19,7	1	2,5	2,5
10	22,3	22,8	21,6	2	3	1
11	20,7	20,3	19,6	3	2	1
12	24,1	23,7	24,4	2	1	3

Suma rangurilor:                                     28            21,5        22,5

Pasi în rezolvarea problemei:

1. Cele trei rezultate pentru fiecare subiect sunt convertite în rangul corespunzator de la unu la trei în functie de rezultatul obtinut. Spre exemplu, subiectul 1 a obtinut cele mai putine erori la cea de a treia evaluare si primeste rangul unu, apoi rangul doi pentru evaluarea din mijloc si rangul trei pentru evaluarea initiala în care a savârsit cele mai multe erori. În caz de egalitate de ranguri se procedeaza conform uzantelor clasice pentru ranguri egale.
2. Rangurile din fiecare coloana sunt apoi însumate. În cadrul ipotezei nule, aceste sume ar trebui sa fie aproximativ egale, adica sa nu existe diferente semnificative între evaluari.
3. Calcularea lui hi patrat pentru ANOVA dublu Friedman prin ranguri la un grad de libertate df=k-1, unde k se refera la numarul de masuratori efectuate în acest caz 3. Formula este urmatoarea:

   

Unde: N este numarul de subiecti (în acest caz 12);

K este numarul de evaluari (în acest caz 3);

(S R)² se obtine prin adunarea rangurilor din fiecare coloana în parte si apoi ridicarea lor la patrat (în cazul de fata avem 28 la patrat pentru prima evaluare; 21,5 la patrat pentru cea de a doua evaluare si 22,5 la patrat pentru cea de a treia evaluare.

S (S R)2 se obtine adunând rezultatele amintite în rândul precedent (în cazul de fata 1752,5).

4. Astfel se obtine un hi patrat = 1,46. Consultam acest rezultat în tabelul lui hi patrat la un p mai mic de 0,05 cu doua grade de libertate (k-1) si observam ca este trecuta valoarea de 5,99. Rezultatul obtinut de noi este mai mic decât valoarea din tabel, ca urmare nu exista diferente semnificative între rezultatele obtinute în cele trei evaluari. Când esantioanele sunt prea mici N<10 si k=3 sau N<5 si k=4 se va utiliza un alt tabel, special, pentru a compara valorile lui hi patrat.

Rezumatul testelor neparametrice comparative:

Comparatii de date nominale:

Testul hi patrat (analiza de contingenta).

Comparatii de date ordinale (ordonate pe ranguri)

Grupe independente:

Doua grupe: testul U a lui Mann-Whitney

Mai mult de doua grupe: ANOVA Kruskal-Wallis

Grupe dependente:

Doua grupe: Wilcoxon perechi

Mai mult de doua grupe: ANOVA Friedman

PROBLEME

1. O statistica efectuata la nivel international releva urmatoarea distributie a copiilor cu cerinte educative speciale:

1. Exista diferente semnificative între cele trei tari în ce priveste tipul de scolarizare a copiilor cu CES?
2. La ce nivel se situeaza aceste diferente?
   
   2.Pornind de la urmatoarele date precizati daca:

1. Exista diferente semnificative între diferitele tipuri de tulburari si serviciile educative oferite?
2. La ce nivel se situeaza aceste diferente?

3.   Un psihopedagog primeste sarcina de a urmarii evolutia a 15 elevi din clasa I cu deficit intelectual usor în ce priveste rezultatele scolare. Sase elevi sunt integrati în scoala normala(X), ceilalti 9 fiind elevii unei scoli speciale(Y). Divizarea pe cele doua grupe s-a facut aleator. La sfârsitul anului scolar s-au înregistrat urmatoarele rezultate (medii generale):

X	6,12	7,24	6,99	5,84	6,45	6,80
Y	7,10	5,88	7,60	7,80	8,00	7,54	7,72	6,11	6,50

1. Sunt în vreun fel afectate performantele scolare ale copiilor integrati în clase normale?
2. Interpretati rezultatele obtinute.
   
   4.Pornind de la problema 3, adaugati o a treia grupa de 9 subiecti care formeaza împreuna o clasa speciala, dar în cadrul unei scoli normale.

Z – 7,11; 5,08; 8,14; 6,80; 6,60; 7,80; 6,90; 9,00; 5,20.

1. Stabiliti daca exista vreo diferenta semnificativa la p de .01
2. Dar la un prag p de .05
   
   5.Un psihopedagog vrea sa studieze influenta emotivitatii în aparitia bâlbâielii. El crede ca aceasta emotivitate are un rol activator, stimulând SNC si implicit aparitia bâlbâielii. Subiectii (N=6) au fost împartiti aleator în doua grupe. Mai întâi au fost pusi sa interpreteze o poezie în fata clasei fara public, iar apoi au recitat aceiasi poezie cu toti colegii de fata. Rezultatele obtinute au fost:

I – 15; 12; 17; 11; 14; 7, respectiv II – 14; 14; 18; 15; 17; 9

1. Se confirma supozitia avuta?
2. Verificati aceiasi ipoteza pentru un prag de p.01
   
   6.Un psihopedagog urmareste efectele pauzelor asupra corectitudinii rezolvarii exercitiilor de matematica (exprimata în numar de greseli) având la dispozitie 8 subiecti testati înainte si dupa pauza:

1. Subiecti	A	B	C	D	E	F	G	H
   Înainte	9	10	6	7	11	6	6	6
   Dupa	5	6	5	5	6	4	7	5

   Stabiliti daca exista un efect de reducere a greselilor, asa cum se astepta psihopedagogul.

   7.Un experiment încearca sa lamureasca efectul testosteronului asupra tendintei de dominare masurata prin minute de altercatii verbale. Au fost observati un numar de 14 subiecti din care 7 au primit o doza de testosteron, iar ceilalti 7 au constituit grupul de control. Analizati daca exista vreo diferenta semnificativa, asa cum se asteapta sa gaseasca experimentatorul în favoarea grupului experimental.

   Grup experimental: 9,12,7,8,10,15,9 (minute de altercatii);

   Grupul de control: 9,11, 13, 8, 7, 8,6 (minute de altercatii).

   8.Pornind de la aceeasi idee prezentata în problema nr.8, o alta persoana propune un alt model experimental cu o singura grupa de subiecti (N=9), care sunt testati de 5 ori: înainte de administrarea testosteronului; la o ora dupa administrare; la 12 ore dupa; la un interval de o zi; si la un interval de 5 zile. S-au obtinut urmatoarele rezultate:

Stabiliti daca exista diferente semnificative între cele 5 momente în ce priveste nivelul agresivitatii.

I. TEHNICI STATISTICE: Statistica descriptiva, Studiul corelational, Metode de comparatie, Tabele, Formule si raspunsuri la intrebari, Bibliografie recomandata
II. APLICATII STATISTICE: Barometre si aplicatii
III. TESTE
IV. LINK-URI RECOMANDATE

PAGINA DE START
statisticasociala@yahoo.com